Rozkład Bernoulliego jest modelem teoretycznym używanym do reprezentowania dyskretnej zmiennej losowej, która może zakończyć się tylko dwoma wzajemnie wykluczającymi się wynikami.
Polecane artykuły: rozkład Bernoulliego, przykład Bernoulliego, przestrzeń prób i reguła Laplace'a.
Funkcja prawdopodobieństwa Bernoulliego
Definiujemy z jako zmienną losową Z, kiedyś znaną i ustaloną. Czyli Z zmienia się losowo (kostka obraca się i obraca w jednym rzucie), ale gdy to obserwujemy, ustalamy wartość (kiedy kostka spada na stół i daje określony wynik). To właśnie w tym momencie oceniamy wynik i przypisujemy mu jeden (1) lub zero (0) w zależności od tego, co uważamy za „sukces” lub nie „sukces”.
Po ustawieniu zmiennej losowej Z może ona przyjmować tylko dwie określone wartości: zero (0) lub jeden (1). Wtedy funkcja rozkładu prawdopodobieństwa rozkładu Bernoulliego będzie niezerowa (0) tylko wtedy, gdy z wynosi zero (0) lub jeden (1). Odwrotnym przypadkiem byłoby to, że funkcja dystrybucji rozkładu Bernoulliego wynosi zero (0), ponieważ z będzie dowolną wartością inną niż zero (0) lub jeden (1).
Powyższą funkcję można również przepisać jako:
Jeśli podstawimy z = 1 w pierwszym wzorze funkcji prawdopodobieństwa, zobaczymy, że wynikiem jest p, które pokrywa się z wartością drugiej funkcji prawdopodobieństwa, gdy z = 1. Podobnie, gdy z = 0 otrzymujemy (1-p) dla dowolnej wartości p.
Momenty funkcji
Momenty funkcji rozkładu to określone wartości, które w różnym stopniu rejestrują miarę rozkładu. W tej sekcji pokazujemy tylko dwa pierwsze momenty: matematyczne oczekiwanie lub wartość oczekiwaną oraz wariancję.
Pierwsza chwila: wartość oczekiwana.
Drugi moment: wariancja.
Przykład momentów Bernouilli
Przypuszczamy, że chcemy obliczyć pierwsze dwa momenty rozkładu Bernoulliego przy prawdopodobieństwie p = 0,6 takim, że
Gdzie D jest dyskretną zmienną losową.
Tak więc wiemy, że p = 0,6 i że (1-p) = 0,4.
- Pierwsza chwila: wartość oczekiwana.
Drugi moment: wariancja.
Ponadto chcemy obliczyć dystrybuantę przy prawdopodobieństwie p = 0,6. Następnie:
Biorąc pod uwagę funkcję prawdopodobieństwa:
Gdy z = 1
Gdy z = 0
Kolor niebieski wskazuje, że części, które pokrywają się między obydwoma (równoważnymi) sposobami wyrażania funkcji rozkładu prawdopodobieństwa rozkładu Bernoulliego.