Mediana to statystyka pozycji centralnej, która dzieli rozkład na dwie części, co oznacza, że po jednej stronie pozostaje taka sama liczba wartości, jak po drugiej.
Aby obliczyć medianę, ważne jest, aby dane były uporządkowane od najwyższej do najniższej lub odwrotnie od najniższej do najwyższej. Oznacza to, że mają zamówienie.
Mediana wraz ze średnią i wariancją jest bardzo ilustracyjną statystyką rozkładu. W przeciwieństwie do średniej, którą można przesunąć w jedną lub drugą stronę, w zależności od rozkładu, mediana zawsze znajduje się w jej środku. Nawiasem mówiąc, kształt rozkładu nazywany jest kurtozą. Dzięki kurtozie możemy zobaczyć, w jakim kierunku porusza się rozkład. Zobacz kurtozę
Miary tendencji centralnejFormuła mediana
Po zdefiniowaniu mediany przystępujemy do jej obliczania. Aby to zrobić, potrzebujemy formuły.
Formuła nie poda nam wartości mediany, da nam tylko pozycję, w której znajduje się w zbiorze danych. W tym sensie musimy wziąć pod uwagę, czy łączna liczba danych lub obserwacji, które mamy (n) jest parzysta czy nieparzysta. Zatem wzór na medianę to:
- Gdy liczba obserwacji jest parzysta:
Mediana = (n + 1) / 2 → Średnia obserwacji
- Gdy liczba obserwacji jest nieparzysta:
Mediana = (n + 1) / 2 → Wartość obserwacji
Oznacza to, że jeśli mamy 50 danych uporządkowanych najlepiej od najmniejszych do największych, mediana byłaby w obserwacji nr 25,5. Jest to wynik zastosowania wzoru do parzystego zestawu danych (50 to liczba parzysta) i podzielenia przez 2. Wynik to 25,5, ponieważ dzielimy przez 50 + 1. Mediana będzie średnią między obserwacją 25 a 26.
W następnej sekcji zobaczymy to bardziej szczegółowo, z wizualnymi przykładami.
Przykład obliczenia mediany
Wyobraźmy sobie, że mamy następujące dane:
2,4,12,6,8,14,16,10,18.
W pierwszej kolejności zamawiamy je od najmniejszego do największego z tym, co mielibyśmy:
2,4,6,8,10,12,14,16,18.
Cóż, wartość mediany, jak wskazuje wzór, to taka, która pozostawia po jednej stronie taką samą ilość wartości, jak po drugiej. Ile mamy obserwacji? 9 obserwacji. Obliczamy pozycję z odpowiednią formułą mediany.
Mediana = 9 + 1/2 = 5
Co oznacza ta 5? Mówi nam, że wartość mediany znajduje się w obserwacji, której pozycja jest piąta.
Dlatego mediana tych danych byłaby liczbą 10, ponieważ znajduje się na piątej pozycji. Dodatkowo możemy sprawdzić, jak po lewej stronie 5 znajdują się 4 wartości (2, 4, 6 i 8) a po prawej stronie 10 pozostałe 4 wartości (12, 14, 16 i 18) .
Inny przykład mediany
Teraz wyobraźmy sobie, że mamy następujące liczby:
1,2,4,2,5,9,8,9.
Jeśli je zamówimy, otrzymamy:
1,2,2,4,6,8,9,9.
W tym przypadku liczba obserwacji jest parzysta. Dlatego też należy wziąć pod uwagę nawet rozważania dotyczące liczby obserwacji. Formuła mówi nam, co następuje:
Mediana = 8 + 1/2 = 4,5
Oczywiście pomyślisz, czym jest pozycja 4.5? Albo jest na pozycji 4, albo na pozycji 5, ale 4,5 nie istnieje. To, co zrobimy, to średnia z wartości, które są na pozycjach 4 i 5. Te liczby to 4 i 6. Średnia między tymi dwiema liczbami to 5 ((4 + 6) / 2).
W związku z tym wartość mediany wynosiłaby 5. Liczba 5 (wyobrażamy sobie) pozostawiłaby taką samą liczbę obserwacji po lewej stronie (1, 2, 2 i 4) jak po prawej stronie (6, 8, 9 i 9).
Średnia arytmetyczna