Bezstronny estymator to taki, którego matematyczne oczekiwanie pokrywa się z wartością parametru, który chcesz oszacować. Jeśli się nie pokrywają, mówi się, że estymator ma stronniczość.
Powodem poszukiwania obiektywnego estymatora jest to, że parametr, który chcemy oszacować, jest dobrze oszacowany. Innymi słowy, jeśli chcemy oszacować średnią liczbę goli na mecz danego piłkarza, musimy użyć wzoru, który daje nam wartość jak najbardziej zbliżoną do rzeczywistej.
W przypadku, gdy oczekiwanie estymatora nie pokrywa się z prawdziwą wartością parametru, mówi się, że estymator ma błąd systematyczny. Błąd systematyczny jest mierzony jako różnica między wartością oczekiwaną estymatora a wartością rzeczywistą. Matematycznie można to zapisać w następujący sposób:
Z powyższego wzoru pierwsza i ostatnia część jest jasna. Oznacza to, że oczekiwanie estymatora jest równe prawdziwej wartości parametru. Jeśli ta równość jest zachowana, estymator jest bezstronny. Matematycznie bardziej abstrakcyjna część środkowa jest wyjaśniona w następnym akapicie.
Średnia wszystkich oszacowań, które estymator może wykonać dla każdej próbki, jest równa parametrowi. Na przykład, jeśli mamy 30 różnych próbek, normalną rzeczą jest to, że w każdej próbce estymator (nawet jeśli tylko nieznacznie) oferuje różne wartości. Jeśli weźmiemy średnią z 30 wartości estymatora w 30 różnych próbkach, to estymator powinien zwrócić wartość równą prawdziwej wartości parametru.
Punktowe oszacowanieBłąd estymatora
Nie zawsze można znaleźć obiektywny estymator do obliczenia określonego parametru. Więc nasz estymator może być stronniczy. To, że estymator ma stronniczość, nie oznacza, że jest niepoprawny. Oznacza to po prostu, że nie pasuje tak dobrze statystycznie, jak byśmy tego chcieli.
To powiedziawszy, nawet jeśli nie pasuje to tak dobrze, jak byśmy chcieli, czasami nie pozostaje nam nic innego, jak użyć tendencyjnego estymatora. Dlatego niezwykle ważne jest, abyśmy znali wielkość tego błędu. Jeśli o tym wiemy, możemy wykorzystać te informacje we wnioskach z naszego dochodzenia. Matematycznie stronniczość definiuje się w następujący sposób:
W powyższym wzorze odchylenie jest wartością niezerową. Gdyby było to zero, estymator byłby bezstronny.
Przykład bezstronnego estymatora
Przykład nieobciążonego estymatora znajduje się w estymatorze średniej. Ten estymator jest znany w statystyce jako średnia próbki. Jeśli użyjemy opisanego na początku wzoru matematycznego, dojdziemy do wniosku, że średnia z próby jest estymatorem bezstronnym. Przed uruchomieniem musimy wziąć pod uwagę następujące informacje:
Oznaczymy X słupkiem powyżej średniej próbki.
Wzór na średnią próbki to suma n wartości, które podzieliliśmy przez liczbę wartości. Jeśli mamy 20 danych, n będzie równe 20. Będziemy musieli dodać wartości 20 danych i podzielić je przez 20.
Powyższy zapis oznacza oczekiwaną lub oczekiwaną wartość średniej próbki. Potocznie można powiedzieć, że oblicza się ją jako średnią wartość średniej z próby. Mając to na uwadze, używając odpowiednich technik matematycznych, możemy wywnioskować, co następuje:
Oczekiwanie estymatora pokrywa się z „mu”, które jest prawdziwą wartością parametru. To znaczy prawdziwy środek. Wszystko jest powiedziane, pewne podstawowe pojęcia dotyczące matematyki są niezbędne do zrozumienia poprzedniego rozwoju.
Podobnie moglibyśmy spróbować zrobić to samo z estymatorem wariancji próbki. W dalszej części S do kwadratu jest wariancją próbki, a grecka litera sigma (która wygląda jak litera o z patyczkiem po prawej stronie) jest rzeczywistą wariancją.
Różnicą od powyższej formuły jest druga część pierwszej formuły. Mianowicie:
Wnioskujemy, że wariancja próby jako estymator wariancji populacji jest obciążona. Jego odchylenie jest równe wartości wskazanej powyżej. Zależy więc od wariancji populacji i wielkości próby (n). Zauważ, że jeśli n (wielkość próbki) staje się bardzo duże, odchylenie dąży do zera.
Jeśli próba jest bardzo duża, estymator zbliża się do prawdziwej wartości parametru, mówimy o estymatorze bezstronnym asymptotycznie.