Kwartyl to każda z trzech wartości, które mogą podzielić grupę liczb, uszeregowanych od najmniejszej do największej, na cztery równe części.
Innymi słowy, każdy kwartyl określa rozdział między jedną podgrupą a drugą w ramach zestawu badanych wartości. Zatem pierwszy, drugi i trzeci kwartyl nazwiemy Q1, Q2 i Q3.
Dane poniżej pierwszego kwartału stanowią 25% danych, poniżej drugiego kwartału 50%, a poniżej trzeciego kwartału 75%.
Pojęcie kwartyla jest typowe dla statystyki opisowej i jest bardzo przydatne do analizy danych.
Należy zauważyć, że Q2 pokrywa się z medianą, czyli danymi statystycznymi, które dzielą zbiór wartości na dwie równe lub symetryczne części.
Inną kwestią, o której należy pamiętać, jest to, że kwartyl jest rodzajem kwantyla. Jest to punkt lub wartość, która pozwala na dystrybucję grupy danych w identycznych odstępach czasu.
Obliczanie kwartyla
Do obliczenia kwartyla serii danych, po uporządkowaniu od najmniejszej do największej, możemy posłużyć się następującym wzorem, gdzie «a» przyjmie wartości 1,2 i 3, a N to liczba analizowanych wartości:
a (N + 1) / 4
Podobnie, jeśli mamy tabelę skumulowanych częstotliwości, musimy postępować zgodnie z następującym wzorem:
W powyższym wzorze Li to dolna granica klasy, w której znajduje się kwartyl, N to suma częstotliwości bezwzględnych, Fi-1 to skumulowana częstotliwość poprzedniej klasy, a Ai to amplituda klasy, czyli , liczba wartości, które zawiera interwał.
Przykład obliczenia kwartyla
Spójrzmy na przykład obliczenia kwartyla z szeregiem liczb:
31, 24, 56,78, 91, 13, 51, 74, 32, 46, 93, 141
Pierwszym krokiem jest uporządkowanie od najmniejszego do największego:
13, 24, 31, 32, 46, 51, 56, 74, 78, 91, 93, 141
Możemy więc obliczyć trzy kwartyle:
P1 = 1x (12 + 1) / 4 = 3,25
Tak więc, ponieważ mamy do czynienia z liczbą niecałkowitą, aby znaleźć pierwszy kwartyl, dodajemy liczbę z pozycji 3 plus część dziesiętną (0,25) pomnożoną przez różnicę między liczbą na pozycji 3 a liczbą na pozycji 4 ( gdyby była to liczba całkowita, na przykład 3, wzięlibyśmy tylko liczbę z pozycji 3).
31+0,25(32-31)=31+0,25=31,25
W przypadku drugiego kwartyla wykonamy podobną operację:
Q2 = 2 * (12 + 1) / 4 = 6,5
Dodajemy liczbę na pozycji 6 plus część dziesiętną (0,5) pomnożoną przez różnicę między liczbą na pozycji 6 a liczbą na pozycji 7.
51+(0,5*(56-51))=51+(0,5*5)=51+2,5=53,5
Następnie wykonamy tę samą operację z trzecim kwartylem:
Q3 = 3x (12 + 1) / 4 = 9,75
Dodajemy liczbę z pozycji 9 plus część dziesiętną (0,75) pomnożoną przez różnicę między liczbą na pozycji 9 a liczbą na pozycji 10.
78+(0,75*(91-78))=78+9,75=87,75
Podsumowując, Q1, Q2 i Q3 to 3,25; 53,5 i 87,57.
Obliczanie kwartyla danych zbiorczych
Zobaczmy teraz, jak obliczyć kwartyle danych pogrupowanych w przedziały:
| fi | Fi | |
| (150,165) | 7 | 7 |
| (165,180) | 17 | 24 |
| (180,195) | 8 | 32 |
| 32 |
Dla pierwszego kwartyla zaczynamy od obliczenia aN/4 = 1 * 32/4 = 8. Oznacza to, że pierwszy kwartyl należy do drugiego przedziału (165,180), którego dolna granica (Li) wynosi 165. Skumulowana częstotliwość poprzedniego przedziału (Fi-1) wynosi 7. Również fi wynosi 17, a amplituda klasy ( Ai ) wynosi 15.
Stosujemy więc formułę wspomnianą w poprzedniej sekcji:
Dla drugiego kwartyla obliczamy aN/4 = 2 * 32/4 = 16. Oznacza to, że drugi kwartyl również należy do drugiego przedziału, więc Li, Fi-1 i fi są takie same.
Wreszcie dla trzeciego kwartyla obliczamy aN/4 = 3 * 32/4 = 24. Oznacza to, że trzeci kwartyl również znajduje się w drugim przedziale.
