Macierz symetryczna - Co to jest, definicja i pojęcie

Macierz symetryczna to macierz rzędu n o tej samej liczbie wierszy i kolumn, gdzie jej transponowana macierz jest równa macierzy pierwotnej.

Innymi słowy, macierz symetryczna jest macierzą kwadratową i jest identyczna z macierzą po zamianie wierszy na kolumny i kolumn na wiersze.

Wymagania

Aby jakakolwiek macierz była macierzą symetryczną, musi spełniać następujące ograniczenia:

Biorąc pod uwagę symetryczną macierz P rzędu n,

• Bycie macierz kwadratowa.

Liczba rzędów (n) musi być taka sama jak liczba kolumn (m). Oznacza to, że rząd macierzy musi być n, zakładając, że n = m.

• Oryginalna macierz musi być równa jej transponowana macierz.

Demonstracja:

Nieruchomości

• Matryca sprzężona macierzy symetrycznej jest również macierzą symetryczną.

Demonstracja:

• Dodawanie lub odejmowanie dwóch macierzy symetrycznych daje w wyniku kolejną macierz symetryczną.

Demonstracja:

Biorąc pod uwagę dwie macierze symetryczne P Tak T rzędu 3 otrzymujemy kolejną macierz symetryczną S od sumy.

Dlaczego nazywa się to macierzą symetryczną?

Własność symetrii jest podana przez elementy wokół głównej przekątnej. Ponieważ macierz kwadratowa jest macierzą symetryczną, zawsze będzie miała taką samą liczbę elementów powyżej i poniżej głównej przekątnej. Te elementy są takie same symetrycznie. Oznacza to, że główna przekątna działa jak lustro.

Dowód symetrii i skośności macierzy

Matryca symetryczna

Litera re reprezentuje elementy głównej przekątnej. Pozostałe litery reprezentują dowolną liczbę rzeczywistą. Widzimy, że główna przekątna działa jak lustro: odbija elementy po obu stronach. Innymi słowy, gdy elementy po obu stronach przekątnej są symetrycznie równe, mówimy, że macierz P jest macierzą symetryczną.

Niesymetryczna macierz

Matryca X Nie jest to macierz symetryczna, ponieważ nie jest macierzą kwadratową, a jej macierz transponowana różni się od macierzy oryginalnej. Ponadto nie ma też głównej przekątnej.