Moduł wektora to długość odcinka zorientowanego w przestrzeni wyznaczonej przez dwa punkty i ich kolejność.
Innymi słowy, moduł wektora to długość między początkiem a końcem wektora, to znaczy, gdzie strzałka się zaczyna i gdzie kończy.
Biorąc pod uwagę dowolny wektor dwuwymiarowy:
Informacja, jaką dają nam współrzędne wektora, czyli vx i vy, to odpowiednio jego długość dla osi x i długość dla osi y.
Więc jeśli znamy współrzędne, możemy obliczyć moduł wektora.
Moduł wektora i twierdzenie Pitagorasa
Czy poprzedni rysunek nie przypomina Ci figury geometrycznej?
Dokładnie, możemy sobie wyobrazić, że osie współrzędnych obok wektora tworzą prostokąt o podstawie vx i wysokości vy. Możemy podzielić ten prostokąt na dwa symetryczne trójkąty, to znaczy, że oba będą miały tę samą podstawę i wysokość.
Zacieniony na niebiesko trójkąt ma podstawę vx i wysokość vy. Znając te informacje, możemy poznać jej przeciwprostokątną. Istnieje bardzo znane twierdzenie znane jako twierdzenie Pitagorasa, które jest używane do tych obliczeń.
Demonstracja
Wiemy, że formuła pitagorejska wygląda następująco:
Gdzie h to przeciwprostokątna, c to jedna noga, a c to druga noga.
W naszym przypadku wiemy ile warte są nasze nogi, czyli podstawa i wzrost. Możemy więc umieścić te informacje w równaniu:
Przechodzimy do usunięcia kwadratu h, stosując pierwiastek kwadratowy:
Jeśli powiemy, że vx = 3 i vy = 6:
Dlatego, gdyby v był wektorem o współrzędnych (3,6), to wiedzielibyśmy, że jego moduł wynosi 6,7082. Dokładnie, jego moduł, bo wzór na moduł dowolnego wektora v to:
Widzimy, że dokładnie informacja, której brakuje w równaniu, pokrywa się z przeciwprostokątną. Innymi słowy, długość wektora jest tym, co chcemy obliczyć, a przeciwprostokątna jest przekątną trójkąta. Dlatego możemy stwierdzić, że użycie twierdzenia Pitagorasa do obliczenia modułu wektora jest prawidłową metodą.
Jeśli więc musimy obliczyć moduł wektora, a nie pamiętamy wzoru, możemy pomyśleć o twierdzeniu Pitagorasa i rozwiązać problem.
Ćwiczenie rozwiązane
Oblicz moduł wektora v o współrzędnych (-3, -6) stosując twierdzenie Pitagorasa.
Moduł wektora v o współrzędnych (-3,6) obliczony ze wzoru twierdzenia Pitagorasa również wynosi 6,7082.