Iloczyn skalarny dwóch wektorów we współrzędnych jest sumą iloczynu współrzędnych każdego wektora z zachowaniem kolejności wymiarów.
Innymi słowy, iloczyn skalarny we współrzędnych dwóch wektorów jest wynikiem pomnożenia współrzędnych tego samego wymiaru wektorów i ich dodania.
Nazywa się to iloczynem skalarnym, ponieważ wynik mnożenia zawsze będzie skalarem. Wynikiem tego mnożenia będzie liczba, która wyraża wielkość i nie ma kierunku. Innymi słowy, wynik iloczynu skalarnego będzie liczbą, a nie wektorem. Dlatego wyrażmy wynikową liczbę jako dowolną liczbę, a nie jako wektor.
Do wyrażenia iloczynu wektorów we współrzędnych stosuje się kanoniczny układ odniesienia.
W tym artykule zobaczymy, wszystko powiedziane, dwa sposoby obliczania iloczynu skalarnego dwóch wektorów. Pierwsza została opisana powyżej, a drugą zobaczymy później.
Formuła iloczynu dwóch wektorów
Biorąc pod uwagę dwa wektory:
Iloczyn skalarny jest obliczany w następujący sposób:
Iloczyn skalarny dwóch wektorów otrzymuje się mnożąc współrzędne wektorów, zawsze zachowując wymiary. Innymi słowy, możesz pomnożyć tylko współrzędne tego samego wymiaru.
W pierwszym przykładzie jest dobrze, ponieważ mnożymy pierwszą współrzędną wektora a i wektora b. Drugi przykład jest błędny, ponieważ mnożymy pierwszą współrzędną wektora a i drugą współrzędną wektora b. Mnożenie współrzędnych różnych wymiarów jest nieprawidłowe.
Wzór na iloczyn skalarny dla k wektorów
Dane k wektorów o n współrzędnych:
Iloczyn skalarny jest obliczany w następujący sposób:
Chociaż mamy wiele wektorów o wielu wymiarach, iloczyn skalarny działa w ten sam sposób: stwórz sumę mnożenia współrzędnych, które mają ten sam wymiar.
Kroki, które należy wykonać, aby obliczyć iloczyn skalarny dwóch wektorów
- Zidentyfikuj wektory, które chcemy pomnożyć i ich współrzędne.
- Pomnóż współrzędne tego samego wymiaru.
- Dodaj poprzednie mnożenia.
- Sprawdź, czy wynik jest jedną liczbą.
Iloczyn skalarny definicji geometrycznej
Iloczyn skalarny dwóch wektorów może być również wyrażony jako iloczyn modułów obu wektorów i cosinusa kąta tych wektorów.
Biorąc pod uwagę dwa wektory, iloczyn skalarny oblicza się w następujący sposób:
Aby zagłębić się w tę inną formę obliczeń, zalecamy zapoznanie się z następującym artykułem:
Zobacz inny sposób obliczania iloczynu skalarnego dwóch wektorówPrzykład produktu skalarnego
Oblicz iloczyn skalarny następujących wektorów:
Wynikiem iloczynu skalarnego będzie zawsze skalar, czyli liczba. Wynik naszego przykładu jest zgodny z teorią i dlatego jest poprawny.
