Mnożenie macierzy polega na liniowym łączeniu dwóch lub więcej macierzy przez dodanie ich elementów w zależności od ich położenia w macierzy początkowej, z uwzględnieniem kolejności czynników.
Innymi słowy, mnożenie dwóch macierzy polega na ujednoliceniu macierzy w jedną macierz poprzez pomnożenie i dodanie elementów wierszy i kolumn macierzy źródłowych z uwzględnieniem kolejności czynników.
Polecane artykuły: operacje na macierzach, macierz kwadratowa.
Mnożenie macierzy
Biorąc pod uwagę dwie macierze Z Tak Tak n wierszy i m kolumn:
Nieruchomości
- Wymiar macierzy wynikowej jest kombinacją wymiaru macierzy. Innymi słowy, wymiarem macierzy wynikowej będą kolumny pierwszej macierzy i wiersze drugiej macierzy.
W takim przypadku stwierdzimy, że Znie (rzędy Z) równa się Takmi(kolumny Y), aby móc je pomnożyć. Tak więc, jeśli są równe, macierz wynikowa będzie wyglądać następująco:
Przykłady
- Pomnożymy macierze dwa przez dwa.
Macierze mnożymy dwa przez dwa, aby zachować wymiary oryginalnych matryc i ułatwić proces.
- Mnożenie macierzy jest nieprzemienne.
Przemienny schemat własności
Własność przemienności reprezentuje dobrze znaną frazę: kolejność czynników nie zmienia wyniku.
Własność tę znajdujemy w zwykłym dodawaniu i mnożeniu, to znaczy, gdy dodajemy i mnożymy dowolny obiekt, który nie jest macierzą.
Biorąc pod uwagę powyższy schemat, własność przemienności mówi nam, że jeśli najpierw pomnożymy słońce niebieskie, a następnie słońce żółte, otrzymamy taki sam wynik (słońce zielone), jak gdybyśmy pomnożyli najpierw słońce żółte, a potem niebieskie.
Tak więc, jeśli mnożenie macierzy nie uwzględnia własności przemienności, oznacza to, że kolejność czynników tak wpływa na wynik. Innymi słowy, nie dostaniemy zielonego słońca, jeśli zmienimy kolejność słońc żółtych i niebieskich.
Proces
Możemy pomnożyć poprzednie macierze, jeśli liczba wierszy w macierzy Z równa się liczbie kolumn w macierzy Tak. Mianowicie, Znie = Takmi.
Po ustaleniu, że możemy pomnożyć macierze, mnożymy elementy każdego rzędu przez każdą kolumnę i dodajemy je w taki sposób, aby w miejscu, w którym poprzednie niebieskie owale się pokrywały, pozostała tylko jedna liczba.
Najpierw dowiadujemy się, gdzie pokrywają się niebieskie owale, a następnie sumujemy wielokrotności elementów.
- W przypadku pierwszego elementu macierzy wyników widzimy, że owale pokrywają się w miejscu, w którym element z jest11.
- Dla ostatniego elementu macierzy wynikowej widzimy, że owale pokrywają się w elemencie iNm.
Przykład teoretyczny
Biorąc pod uwagę dwie macierze kwadratowe re Tak I,
Pomnóż poprzednie macierze.
Zaczynamy od pomnożenia pierwszego wiersza macierzy re z pierwszą kolumną macierzy I. Następnie robimy to samo, ale zachowując wiersz lub kolumnę każdej macierzy w zależności od tego, czy chcemy pomnożyć niektóre elementy, czy inne. Powtarzamy procedurę, aż wypełnimy wszystkie luki.
Ćwiczenie
Wykazać, że własność przemienności nie jest spełniona w iloczynu macierzy.