Wektory własne to wektory pomnożone przez wartość własną w liniowych przekształceniach macierzy. Wartości własne to stałe, które mnożą wektory własne w przekształceniach liniowych macierzy.
Innymi słowy, wektory własne przekładają informacje z macierzy oryginalnej na wielokrotność wartości i stałą. Wartości własne to ta stała, która mnoży wektory własne i uczestniczy w liniowej transformacji macierzy pierwotnej.
Chociaż jego nazwa w języku hiszpańskim jest bardzo opisowa, w języku angielskim wektory własne nazywają się wektory własne i wartości własne, wartości własne.
Polecane artykuły: typologie macierzy, macierz odwrotna, wyznacznik macierzy.
Własne wektory
Wektory własne to zbiory elementów, które przez pomnożenie dowolnej stałej są równoważne z pomnożeniem macierzy pierwotnej i zbiorów elementów.
Matematycznie wektor własnyV= (v1,…, Vnie) macierzy kwadratowejQ jest dowolnym wektorem?V który spełnia następujące wyrażenie dla dowolnej stałejh:
QV = hV
Własne wartości
Stała h jest wartością własną, która należy do wektora własnego V.
Wartości własne to rzeczywiste pierwiastki (pierwsze, które mają jako rozwiązanie liczby rzeczywiste), które znajdujemy za pomocą równania charakterystycznego.
Charakterystyka wartości własnych
- Każda wartość własna ma nieskończone wektory własne, ponieważ istnieją nieskończone liczby rzeczywiste, które mogą być częścią każdego wektora własnego.
- Są skalarami, mogą być liczbami zespolonymi (nie rzeczywistymi) i mogą być identyczne (więcej niż jedna równa wartość własna).
- Istnieje tyle wartości własnych, ile jest wierszy (mi) lub kolumny (nie) ma oryginalną macierz.
Wektory i wartości własne
Istnieje liniowa zależność zależności między wektorami a wartościami własnymi, ponieważ wartości własne mnożą wektory własne.
Matematycznie
Jeśli V jest wektorem własnym macierzyZ Tak h jest wartością własną macierzy Z, następniehV jest liniową kombinacją wektorów i wartości własnych.
Funkcja charakterystyczna
Funkcja charakterystyczna służy do znajdowania wartości własnych macierzyZ kwadrat.
Matematycznie
(Z - hl) V = 0
Gdzie ZTakh są zdefiniowane powyżej ija jest macierzą tożsamości.
Warunki
Aby znaleźć wektory i wartości własne macierzy, musi być spełniony:
- Matryca Z kwadrat: liczba rzędów (mi) jest taka sama jak liczba kolumn (nie).
- Matryca Z real. Większość macierzy stosowanych w finansach ma realne korzenie. Jaka jest korzyść z używania prawdziwych korzeni? Cóż, wartości własne macierzy nigdy nie będą liczbami zespolonymi, a to, przyjaciele, bardzo rozwiązuje nasze życie.
- Macierz (Z- cześć) nieodwracalne: wyznacznik = 0. Ten warunek pomaga nam zawsze znaleźć wektory własne inne niż zero. Gdybyśmy znaleźli wektory własne równe 0, to mnożenie wartości i wektorów własnych wyniosłoby zero.
Praktyczny przykład
Przypuszczamy, że chcemy znaleźć wektory i wartości własne aZ Macierz 2 × 2 wymiarów:
1. Zastępujemy macierz Z Takja w równaniu charakterystycznym:
2. Ustalamy czynniki:
3. Mnożymy elementy tak, jakbyśmy szukali wyznacznika macierzy.
4. Rozwiązaniem tego równania kwadratowego jest h = 2 i h = 5. Dwie wartości własne ze względu na liczbę wierszy lub kolumn w macierzy Z wynosi 2. Tak więc znaleźliśmy wartości własne macierzy Z co z kolei sprawia, że wyznacznik wynosi 0.
5. Aby znaleźć wektory własne, musimy rozwiązać:
6. Na przykład (v1, v2) = (1,1) dla h = 2 i (v1, v2) = (-1,2) dla h = 5:
