Model ARMA jest stacjonarnym modelem autoregresyjnym, w którym zmienne niezależne podążają za trendami stochastycznymi, a składnik błędu jest stacjonarny.
Innymi słowy, model ARMA zawiera w swojej regresji autokorelację i model średniej ruchomej.
Polecane artykuły: teoria błądzenia losowego, średnia warunkowa, autoregresja.
Znaczenie ARiMR
Model ARMA, z języka angielskiego, Autoregresywna średnia ruchoma podzielony jest na dwie części:
- Autoregresywny: Zmienna zależna powraca do siebie po pewnym czasiet.
- Średnia ruchoma: niepowodzenia są reprezentowane przez procesy losowe.
Model AR
Matematycznie
1. Zaczynamy od modelu autoregresyjnego AR(p):
Gdzie:
Innymi słowy, składnik błędu następuje po procesie stochastycznym (zmienna losowa).
2. Ustanawiamy następującą równość:
4. Podstawiamy poprzednią równość w AR (p) i otrzymujemy:
4. Definiujemy nowy wielomian zależny od R:
Następnie,
Jeśli pomnożymy nowy wielomian przez Xt i przekazujemy wszystkie parametry i regresory na lewo od równych, otrzymamy początkowy AR (p).
Z modelu autoregresyjnego pozostaje nam ostatnie równanie:
Jest to wkład modelu autoregresyjnego do modelu ARMA.
Model średniej ruchomej
Model średniej ruchomej to autoregresja, w której regresory są błędami każdego okresut.
Matematycznie
1. Zaczynamy od modelu autoregresyjnego AR (p), gdzie regresory są składnikiem błędu:
Podobnie jak w modelu autoregresyjnym, składnik błędu jest zgodny z procesem stochastycznym (zmienna losowa) w taki sposób, że:
Model średniej ruchomej jest zawsze stacjonarny, to znaczy zmienne niezależne (warunki błędu opóźnionego) są zmiennymi losowymi. Innymi słowy, warunki błędu poprzedniego okresu są niezależne od bieżących warunków błędu i mają ten sam (identyczny) rozkład prawdopodobieństwa ze średnią 0 i warunkową wariancją.
2. Ustanawiamy następującą równość:
3. Podstawiamy poprzednią równość w AR (p) członu błędu i otrzymujemy:
4. Definiujemy nowy wielomian zależny od E:
Bierzemy wspólny czynnik:
Z modelu średniej ruchomej pozostaje nam równanie z punktu 4:
Model ARiMR (p, q)
Matematycznie
Ogólny autoregresyjny model szeregów czasowych ze średnią ruchomąp warunki autoregresyjne ico Terminy średniej ruchomej są wyrażane jako:
Nie panikować! Czy możemy coś uprościć?
Zawsze możesz uprościć rzeczy. Pamiętamy równania, które wcześniej podkreśliliśmy:
Model autoregresyjny
Model średniej ruchomej
Widzimy więc, że model ARMA jest po prostu kombinacją modelu autoregresyjnego i modelu średniej ruchomej (zaznaczonej na żółto).