Łączny rozkład to rozkład prawdopodobieństwa przecięcia realizacji dowolnych dwóch lub więcej zmiennych losowych.
Innymi słowy, łączny rozkład to rozkład prawdopodobieństwa, który tworzą dwie lub więcej zmiennych losowych, gdy ich realizacje występują jednocześnie.
Reprezentacja wspólnej dystrybucji
Gdy w grę wchodzą tylko dwie zmienne losowe, nazywa się to rozkładem dwuwymiarowym, ponieważ istnieją dwie zmienne losowe. W przypadku posiadania większej liczby zmiennych nazwano by to wielowymiarowym.
Długa nazwa rozkładu łącznego to łączny rozkład prawdopodobieństwa. Nazwa jest skrócona, ponieważ już wiadomo, że te rozkłady są prawdopodobieństwem. W języku angielskim nazywa się to „wspólną dystrybucją”.
Biorąc pod uwagę, że istnieją dyskretne zmienne losowe i ciągłe zmienne losowe, różnica ta będzie również występować dla rozkładów łącznych.
Łączny rozkład dla dyskretnych zmiennych losowych
Niech dwie dyskretne zmienne losowe będą X i W, a realizacje X i W będą x i w. Wtedy (X, W) będzie miał łączny rozkład z funkcji gęstości prawdopodobieństwa łącznego (X, W).
Łączna funkcja gęstości prawdopodobieństwa (fdpc)
fdpc daje nam prawdopodobieństwo, że realizacja xi realizacja w wystąpią w tym samym czasie. Aby poznać prawdopodobieństwo takiego zdarzenia, musimy pomnożyć prawdopodobieństwo wystąpienia x w zależności od w przez prawdopodobieństwo wystąpienia x. Innymi słowy, prawdopodobieństwo wystąpienia w przy danym x i prawdopodobieństwo wystąpienia x. W ten sposób otrzymamy wspólne prawdopodobieństwo x i w.
Ponieważ mamy dwie zmienne, możemy wyrazić pdf z punktu widzenia zmiennej losowej X lub z punktu widzenia zmiennej losowej W.
Spełniając to:
To ograniczenie polega na tym, że suma łącznych prawdopodobieństw musi dać 1, ponieważ są to prawdopodobieństwa i zawsze mieszczą się w przedziale od 0 do 1.
Łączny rozkład dla ciągłych zmiennych losowych
Niech X i W będą dwiema ciągłymi zmiennymi losowymi i niech realizacje X i W będą x i w. Wtedy (X, W) będzie miał łączny rozkład z funkcji gęstości prawdopodobieństwa łącznego (X, W).
Łączna funkcja gęstości prawdopodobieństwa (fdpc)
Logika przypadku ciągłego jest taka sama jak dla przypadku dyskretnego.
Funkcje te nazywane są funkcjami krańcowej gęstości prawdopodobieństwa. Pierwszy dla zmiennej losowej X i drugi dla zmiennej losowej W.
Spełnienie tego
To ograniczenie polega na tym, że suma łącznych prawdopodobieństw musi dać 1, ponieważ są to prawdopodobieństwa i zawsze mieszczą się w przedziale od 0 do 1.
Aplikacja
W ekonomii bardzo często zdarza się, że zdarzenia dotyczą więcej niż jednej zmiennej losowej, dlatego pojawia się potrzeba przeanalizowania rozkładu tych zmiennych w tym samym rozkładzie.