Ortocentrum to przecięcie trzech wysokości trójkąta, które można znaleźć wewnątrz lub na zewnątrz figury.
Należy pamiętać, że wysokość trójkąta to ten odcinek, który zaczyna się od każdego wierzchołka trójkąta i rozciąga się w kierunku jego przeciwnego boku, tworząc kąt prosty lub 90º. Oznacza to, że wysokość i odpowiednia strona są prostopadłe.
Na powyższym rysunku punkt O jest ortocentrum figury, a wysokości trójkąta to CF, BE i AD.
Ortocentrum według typu trójkąta
Ortocentrum, w zależności od rodzaju trójkąta, o którym mowa, ma różne cechy:
- Trójkąt prostokątny: Ortocentrum trójkąta prostokątnego pokrywa się z wierzchołkiem odpowiadającym kątowi prostemu. Na poniższym rysunku, na przykład, wysokości to BF, a same segmenty trójkąta AB i BC, przy czym ortocentrum jest wierzchołkiem B.
Warto również wspomnieć, że wysokości AB i BC to nogi, czyli boki tworzące kąt prosty, natomiast AC to przeciwprostokątna.
- Rozwarty trójkąt: Ortocentrum znajduje się na zewnątrz trójkąta, gdy jest rozwarty, to znaczy, gdy jeden z wewnętrznych kątów figury jest większy niż 90º.
Na poniższym obrazku np. wysokości to AH, CI i FB, więc szukamy punktu przecięcia ich przedłużeń, którym byłby punkt O.
- Ostry trójkąt: Ortocentrum znajduje się wewnątrz figury, gdy trójkąt jest ostry, to znaczy, gdy wszystkie jego kąty wewnętrzne są ostre lub mniejsze niż 90º (patrz pierwsze zdjęcie tego artykułu).
Trójkąt ortyczny
Trójkąt ortodontyczny to taki, którego wierzchołkami są stopy trzech wysokości trójkąta. Jak widać na poniższym rysunku, trójkąt ortogonalny trójkąta ABC to trójkąt FGH.
Prawdą jest również, że ortocentrum (punkt I) trójkąta ABC jest jednocześnie środkiem okręgu wpisanego (zawartego w) trójkącie ortopedycznym.
Jak znaleźć ortocentrum trójkąta
Załóżmy, że mamy równanie linii zawierających dwie wysokości trójkąta, które są następujące:
y = -137,7x-1941
y = 0,6x + 7
Musimy więc dowiedzieć się, przy jakich wartościach x i y obie linie się pokrywają. Najpierw rozwiązujemy x, przyrównując prawą stronę każdego równania:
137,7x-1941 = 0,6x + 7
-138,3x = 1948
x = -14,0853
Następnie rozwiązujemy dla i w jednym z dwóch równań:
y = (0,6x-14,0853) +7
y = -8,4512 + 7 = -1,4512
Dlatego współrzędne ortocentrum w płaszczyźnie kartezjańskiej to (-14.0853, 1.4512)