Model Blacka-Scholesa to formuła używana do wyceny ceny opcji finansowej. Formuła ta oparta jest na teorii procesów stochastycznych.
Model Blacka-Scholesa zawdzięcza swoją nazwę dwóm matematykom, którzy go opracowali, Fisherowi Blackowi i Myronowi Scholesowi. Black-Scholes był pierwotnie używany do wyceny opcji bez dywidendy. Lub to samo, aby spróbować obliczyć, jaka powinna być „uczciwa” cena opcji finansowej. Później obliczenia zostały rozszerzone na wszelkiego rodzaju opcje.
Model ten otrzymał w 1997 roku Nagrodę Nobla w dziedzinie ekonomii. W ten sposób stał się jednym z podstawowych filarów współczesnej teorii finansów. Wielu analityków używa tej metody do oceny, jaka powinna być odpowiednia cena opcji finansowej.
Założenia modelu Blacka-Scholesa
Przed przejściem do wzoru i dalszych obliczeń konieczne jest rozważenie modelu. Niektóre założenia wyjściowe, które model bierze pod uwagę i które wymienimy poniżej:
- Nie ma kosztów transakcyjnych ani podatków.
- Stopa procentowa wolna od ryzyka jest stała dla wszystkich terminów zapadalności.
- Akcje nie wypłacają dywidendy.
- Zmienność pozostaje stała.
- Dozwolona jest krótka sprzedaż.
- Nie ma możliwości arbitrażu bez ryzyka.
- Załóżmy, że rozkład prawdopodobieństwa zwrotów jest rozkładem normalnym.
Formuła Blacka-Scholesa
Formuła wyceny opcji Blacka-Scholesa jest wyrażona w następujący sposób:
Gotowy do inwestowania na rynkach?
Jeden z największych brokerów na świecie, eToro, sprawił, że inwestowanie na rynkach finansowych stało się bardziej dostępne. Teraz każdy może inwestować w akcje lub kupować ułamki akcji z prowizją 0%. Zacznij inwestować już teraz z depozytem w wysokości zaledwie 200 USD. Pamiętaj, że ważne jest szkolenie, aby inwestować, ale oczywiście dzisiaj każdy może to zrobić.
Twój kapitał jest zagrożony. Mogą obowiązywać inne opłaty. Aby uzyskać więcej informacji, odwiedź stocks.eToro.com
Chcę inwestować z Etoro
Gdzie:
- C = Cena zakupu opcji dzisiaj (T = 0) w euro.
- T = okres do zapadalności w latach (3 miesiące = 0,25 roku).
- r = stopa procentowa bez ryzyka. Rentowność długu państwowego w przeliczeniu na jeden
- sigma = zmienność jak na jeden.
- X = Cena wykonania opcji kupna w euro.
- S = Cena akcji w T = 0 w euro.
- N (d1 i d2) = Wartość skumulowanej funkcji prawdopodobieństwa rozkładu normalnego o zerowej średniej i jednym odchyleniu standardowym.
Przykład obliczenia Blacka-Scholesa
Załóżmy, że chcemy obliczyć wartość opcji kupna, która ma 3 miesiące do wygaśnięcia, z ceną wykonania 40 euro. Cena akcji wynosi 50 euro. Roczna zmienność wynosi 30% (0,3). A 3-miesięczna wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi 10%. Akcje nie wypłacają dywidendy przez najbliższe trzy miesiące.
W związku z tym:
- C = Cena zakupu opcji dzisiaj (T = 0) w euro.
- T = 0,25.
- r = 0,1.
- sigma = 0,3.
- X = 40 euro.
- S = 50 euro.
Obliczamy d1 i d2:
- d1 = 1,72.
- d2 = 1,57.
- N (d1) = 0,9573.
- N (d2) = 0,9418.
Nawiasem mówiąc, aby uzyskać ostatnie wartości d1 i d2, konieczne jest skorzystanie z tablic prawdopodobieństwa.
Gdy mamy już wszystkie dane, podstawiamy do początkowego wzoru:
Tak więc według Black-Scholesa odpowiednia cena dla naszej opcji kupna to 11 123 euro.
Ograniczenia modelu Blacka-Scholesa
Chociaż model Blacka-Scholesa oferuje genialne rozwiązanie problemu wyliczenia odpowiedniej ceny za opcję, ma pewne ograniczenia.
To model, czyli adaptacja rzeczywistości. Dlatego jako adaptacja do rzeczywistości nie przedstawia jej idealnie. Black-Scholes oblicza cenę opcji, które można zrealizować lub rozliczyć tylko w momencie wygaśnięcia. Z opcji amerykańskich można jednak skorzystać przed wygaśnięciem. Ponadto zakłada również, że akcje nie wypłacają dywidendy. I że zarówno stopa wolna od ryzyka, jak i zmienność są stałe. W rzeczywistości też tak nie jest, ponieważ wiele akcji wypłaca dywidendy. Wreszcie, zmienność i stopy wolne od ryzyka zmieniają się w czasie, więc to założenie również nie jest prawdziwe.
Model matematyczny
