Różnicę między wklęsłą a wypukłą można wyjaśnić w następujący sposób → Termin wypukła odnosi się do faktu, że powierzchnia ma krzywiznę do wewnątrz, podczas gdy gdyby była wklęsła, krzywizna byłaby skierowana na zewnątrz.
Możemy więc to opisać w inny sposób. Środkowa część wypukłej powierzchni jest bardziej obniżona lub obniżona. Z drugiej strony, gdyby była wklęsła, ta środkowa część byłaby wyeksponowana.
Aby lepiej to zrozumieć, możemy przytoczyć kilka przykładów. Najpierw klasyczny przypadek kuli, której powierzchnia jest wypukła. Jeśli jednak przetniemy ją na pół i zachowamy dolną połowę, otrzymalibyśmy obiekt wypukły, z ugięciem (przy założeniu, że wnętrze kuli jest puste).
Innym przykładem wklęsłości może być góra, ponieważ jest to wzniesienie w stosunku do powierzchni ziemi. Wręcz przeciwnie, studnia jest wklęsła, ponieważ wejście do niej oznacza zapadanie się poniżej poziomu powierzchni ziemi.
Należy również zauważyć, że aby zdefiniować obiekt jako perspektywę wklęsłą lub wypukłą, należy również wziąć pod uwagę. Na przykład talerz do zupy, gdy jest gotowy do podania, jest wypukły, ma zwis. Jeśli jednak ją odwrócimy, płyta będzie wklęsła.
Jeśli na przykład przeanalizujemy parabole, są one wypukłe, jeśli mają kształt litery U, ale wklęsłe, jeśli mają kształt odwrócony.
Funkcje wklęsłe i wypukłe
Jeśli druga pochodna funkcji jest mniejsza od zera w punkcie, wtedy funkcja jest w tym punkcie wklęsła. Z drugiej strony, jeśli jest większa od zera, jest w tym miejscu wypukła. Powyższe można wyrazić w następujący sposób:
Jeśli f »(x) <0, f (x), jest wklęsły.
Jeśli f »(x)> 0, f (x) jest wypukłe.
Na przykład w równaniu f (x) = x2+ 5x-6, możemy obliczyć jej pierwszą pochodną:
f '(x) = 2x + 5
Następnie znajdujemy drugą pochodną:
f »(x) = 2
Dlatego, ponieważ f »(x) jest większe od 0, funkcja jest wypukła dla każdej wartości x, jak widać na poniższym wykresie:
Zobaczmy teraz przypadek tej innej funkcji: f (x) = - 4x2+ 7x + 9.
f '(x) = - 8x + 7
f »(x) = - 8
Dlatego, ponieważ druga pochodna jest mniejsza niż 0, funkcja jest wklęsła dla każdej wartości x.
Ale teraz spójrzmy na następujące równanie: -5 x3+ 7x2+5 x-4
f '(x) = - 15x2+ 14x + 5
f »(x) = - 30x + 14
Ustawiamy drugą pochodną równą zero:
-30x + 14 = 0
x = 0,4667
Więc kiedy x jest większe od 0,4667, f »(x) jest większe od zera, więc funkcja jest wypukła. Jeśli x jest mniejsze niż 0,4667, funkcja jest wklęsła, jak widać na poniższym wykresie:
Wielokąt wypukły i wklęsły
Wielokąt wypukły to taki, w którym można połączyć dwa jego punkty, rysując linię prostą, która pozostaje w obrębie figury. Podobnie jego kąty wewnętrzne są mniejsze niż 180º.
Z drugiej strony, wielokąt wklęsły to taki, w którym, aby połączyć dwa jego punkty, należy narysować linię prostą znajdującą się poza figurą, czyli zewnętrzną przekątną, która łączy dwa wierzchołki. Co więcej, co najmniej jeden z jego kątów wewnętrznych jest większy niż 180º.
Porównanie widzimy na poniższym obrazku:
