Logarytm jest ściśle wklęsłą (rosnącą) funkcją monotoniczną zawartą w zbiorze dodatnich liczb rzeczywistych i jest odwrotnością funkcji wykładniczej.
Innymi słowy, logarytm jest funkcją zależną od podstawy i argumentu, który rośnie w malejącym tempie wzrostu.
Polecane artykuły: logarytm naturalny, logarytmy w ekonometrii i liczby rzeczywiste.
Formuła logarytmiczna
Wyrażenie logarytmiczne składa się z podstawy i argumentu.
W tym przypadku baza to x i argument jest z, z którego otrzymamy logarytm.
Ale… Jaki jest logarytm z elementów poprzedniego równania?
Przeważnie myślimy, że logarytm poprzedniego wyrażenia to po prostu logx, ale to nieprawda. Prawidłowa odpowiedź to logxz, ponieważ potrzebujemy również zmiennej z, aby móc obliczyć logarytm.
Domena
Mając zmienną liczbową z zawartą w zbiorze liczb rzeczywistych, podlega ona ograniczeniu przyjmowania tylko dodatnich liczb rzeczywistych.
Innymi słowy, argumenty logarytmu przyjmą tylko liczby rzeczywiste ściśle (>) większe od zera (0).
Mając liczbę x zawartą w zbiorze liczb rzeczywistych, podlega ona ograniczeniu przyjmowania tylko dodatnich liczb rzeczywistych większych od 1.
Innymi słowy, podstawy logarytmów przyjmą tylko liczby rzeczywiste ściśle (>) większe niż jeden (1).
Najczęściej używane bazy to 2, 10 i e.
Logarytm o podstawie 10 nazywa się logarytm dziesiętny lub wspólny.
Logarytm o podstawie 2 jest znany jako logarytm binarny.
Jeżeli podstawą logarytmu jest liczba e, to logarytm nazywamy logarytm naturalny lub naturalny.
Reprezentacja
Czego potrzebujemy, aby obliczyć logarytm liczby?
Aby obliczyć logarytm potrzebujemy dwóch liczb należących do zbioru dodatnich liczb rzeczywistych oraz tego, że jedna z nich jest różna od jednej (1). Jedna liczba będzie działała odpowiednio jako argument, a druga jako podstawa.
Wynik
Chociaż istnieją ograniczenia dotyczące liczb, które mogą być użyte w podstawie i argumencie, w kodziedzinie funkcji logarytmicznej wszystkie liczby rzeczywiste. Innymi słowy, możemy uzyskać logarytmy ujemne, neutralne (0) lub dodatnie, ponieważ mogą przyjmować dowolną wartość prostej rzeczywistej:
Ważne jest, aby nie mylić domeny argumentu z domeną wyniku (kodomena).
Przykłady
Aplikacja
W finansach logarytmy służą do uzyskiwania ciągłych zwrotów z aktywów lub produktów finansowych.
W ekonomii, zarówno w mikroekonomii, jak i makroekonomii, służą one do wyrażania niechęci do ryzyka podmiotów gospodarczych w funkcjach użyteczności. Służą również do wykonywania monotonnych przekształceń funkcji użytkowych.
W ekonometrii skala zmiennych jest przekształcana w celu ułatwienia ich interpretacji.