Liniowa kombinacja wektorów występuje, gdy wektor można wyrazić jako liniową funkcję innych wektorów, które są liniowo niezależne.
Innymi słowy, liniowa kombinacja wektorów polega na tym, że wektor może być wyrażony jako liniowa kombinacja innych wektorów, które są od siebie liniowo niezależne.
Wymagania dotyczące liniowej kombinacji wektorów
Liniowa kombinacja wektorów musi spełniać dwa wymagania:
- Że wektor może być wyrażony jako liniowa kombinacja innych wektorów.
- Niech te inne wektory będą od siebie liniowo niezależne.
Kombinacja liniowa w rachunku różniczkowym
W matematyce podstawowej jesteśmy przyzwyczajeni do częstego oglądania kombinacji liniowych, nie zdając sobie z tego sprawy. Na przykład linia jest kombinacją jednej zmiennej względem drugiej, tak że:
Ale pierwiastki, logarytmy, funkcje wykładnicze … nie są już kombinacjami liniowymi, ponieważ proporcje nie pozostają stałe dla całej funkcji:
Jeśli więc mówimy o liniowej kombinacji wektorów, struktura równania będzie miała następującą postać:
Ponieważ mówimy o wektorach, a poprzednie równanie odnosi się do zmiennych, aby zbudować kombinację wektorów, wystarczy zastąpić zmienne wektorami. Niech następujące wektory będą:
Możemy więc zapisać je jako kombinację liniową w następujący sposób:
Wektory są od siebie liniowo niezależne.
grecki list lambda działa jako parametr m w ogólnym równaniu linii. Lambda będzie dowolną liczbą rzeczywistą, a jeśli się nie pojawi, jej wartość będzie równa 1.
To, że wektory są liniowo niezależne, oznacza, że żaden z wektorów nie może być wyrażony jako liniowa kombinacja pozostałych. Wiadomo, że wektory niezależne tworzą podstawę przestrzeni i do tej przestrzeni należy również wektor zależny.
Przykład równoległościanu
Zakładamy, że mamy trzy wektory i chcemy je wyrazić jako kombinację liniową. Wiemy również, że każdy wektor pochodzi z tego samego wierzchołka i stanowi odciętą tego wierzchołka. Figura geometryczna jest równoległościanem. Ponieważ informują nas, że figura geometryczna, którą tworzą te wektory, jest odciętą równoległościanu, wektory wyznaczają powierzchnie figury.
Najpierw musimy wiedzieć, czy wektory są liniowo zależne. Jeśli wektory są liniowo zależne, to nie możemy z nich utworzyć kombinacji liniowej.
Trzy wektory:
Skąd możemy wiedzieć, czy wektory są liniowo zależne, jeśli nie dostarczają nam informacji o swoich współrzędnych?
Cóż, używając logiki. Gdyby wektory były zależne liniowo, wszystkie ściany równoległościanu załamałyby się. Innymi słowy, byłyby takie same.
Dlatego możemy wyrazić nowy wektor w w wyniku liniowej kombinacji poprzednich wektorów:
Wektor reprezentujący kombinację poprzednich wektorów:
Graficznie:
