Związek zdarzeń jest operacją, której wynik składa się ze wszystkich niepowtarzających się zdarzeń elementarnych, które są wspólne, a nie wspólne dla dwóch lub więcej zbiorów.
Oznacza to, że przy danych dwóch zbiorach A i B suma A i B zostałaby utworzona przez wszystkie niepowtarzające się zbiory, które mają A i B. Intuicyjnie prawdopodobieństwo sumy zdarzeń A i B implikuje odpowiedź na pytanie: Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyjdzie A lub że wyjdzie B?
Symbolem unii zdarzeń jest U. W taki sposób, że jeśli chcemy matematycznie zaobserwować unię dwóch zdarzeń B i D, zauważylibyśmy to jako: B U D.
Uogólnienie związku zdarzeń
Do tej pory widzieliśmy i wskazywaliśmy na zjednoczenie dwóch wydarzeń. Na przykład AUB lub B U D. Ale co, jeśli mamy trzy, cztery, a nawet sto wydarzeń?
Nazywamy to uogólnieniem, czyli formułą, która pomaga nam dostrzec związek działania zdarzeń w tych przypadkach. Jeśli mamy 8 zdarzeń, zamiast pisać dziesięć zdarzeń, użyjemy następującej notacji:
Zamiast nazywać każde zdarzenie A, B lub jakąkolwiek literą, nazwiemy Tak. S to zdarzenie, a indeks dolny i wskazuje liczbę. W taki sposób, że na przykładzie 10 wydarzeń otrzymamy:
To, co zrobiliśmy, to zastosowanie poprzedniej notacji i rozwinięcie jej. Teraz nie zawsze będziemy musieli. Zwłaszcza jeśli chodzi o dużą ilość wydarzeń.
Unia wydarzeń rozłącznych i nierozłącznych
Pojęcie wydarzeń rozłącznych wskazuje na to, że dwa wydarzenia nie mają wspólnych elementów.
Gdy są rozłączne, operacja łączenia zdarzeń jest prosta. Musisz tylko dodać prawdopodobieństwa obu, aby uzyskać prawdopodobieństwo wystąpienia jednego lub drugiego zdarzenia. Jeśli jednak wydarzenia nie są rozłączne, należy dodać drobny szczegół. Powtarzające się elementy muszą zostać wyeliminowane. Na przykład:
Załóżmy, że pole wynikowe wynosi od 1 do 5. Zdarzenia są następujące:
Zdarzenie A: (1,2,4) -> 60% prawdopodobieństwo = 0,6
Zdarzenie B: (1,4,5) -> 60% prawdopodobieństwo = 0,6
Operacja AUB, intuicyjnie, polegałaby na dodaniu zdarzeń z A i zdarzeń z B, ale jeśli to zrobimy, prawdopodobieństwo wyniesie 1,2 (0,6 + 0,6). A jak wskazują aksjomaty prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo musi zawsze wynosić od 0 do 1. Jak to rozwiązujemy? Odejmowanie przecięcia zdarzeń A i B. To znaczy usuwanie elementów, które się powtarzają:
A + B = (1,1,2,4,4,5)
A B = (1,4)
A U B = A + B - (A ∩ B) = (1,2,4,5)
Przechodząc do prawdopodobieństw, musielibyśmy:
P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) = 0,6 + 0,6 - 0,4 = 0,8 (80%)
Rzeczywiście, prawdopodobieństwo pojawienia się 1, 2, 4 lub 5. Zakładając, że wszystkie liczby mają takie samo prawdopodobieństwo wystąpienia, wynosi 80%.
Graficznie wyglądałoby to tak:
Właściwości związku zdarzeń
Łączenie zdarzeń to rodzaj operacji matematycznej. Niektóre rodzaje operacji to także dodawanie, odejmowanie, mnożenie. Każdy z nich ma szereg właściwości. Na przykład wiemy, że wynik dodania 3 + 4 jest dokładnie taki sam, jak wynik dodania 4 +3. W tym momencie związek zdarzeń ma kilka właściwości, o których warto wiedzieć:
- przemienne: Oznacza to, że kolejność, w jakiej jest napisana, nie zmienia wyniku. Na przykład:
- A U B = B U A
- C U D = D U C
- Asocjacyjny: Zakładając, że są trzy wydarzenia, nie obchodzi nas, które z nich zrobić jako pierwsze, a które następne. Na przykład:
- (A U B) U C = A U (BU C)
- (A U C) U B = (A U B) U C
- Dystrybucyjny: Gdy uwzględnimy typ operacji przecięcia, obowiązuje własność rozdzielności. Wystarczy spojrzeć na następujący przykład:
- A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
Przykład związku wydarzeń
Prosty przykład połączenia dwóch zdarzeń A i B byłby następujący. Załóżmy przypadek rzutu doskonałą kostką. Kość, która ma sześć ścian ponumerowanych od 1 do 6. W taki sposób, że wydarzenia są zdefiniowane poniżej:
DO: Że jest większe niż 2. (3,4,5,6) z prawdopodobieństwem 4/6 => P (A) = 0,67
DO: Niech wyjdzie pięć. (5) prawdopodobieństwo wynosi 1/6 => P (C) = 0,17
Jakie jest prawdopodobieństwo AUC?
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C)
Ponieważ P (A) i P (C) już to mają, obliczymy P (A ∩ C)
A ∩ C = (5) w prawdopodobieństwach P (A ∩ C) = 1/6 = 0,17
Efektem końcowym jest:
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A C) = 0,67 + 0,17 - 0,17 = 0,67 (67%)
Prawdopodobieństwo, że wyrzuci więcej niż 2 lub że wyrzuci 5, wynosi 67%.