Model matematyczny to model wykorzystujący formuły matematyczne do przedstawiania relacji między różnymi zmiennymi, parametrami i ograniczeniami.
Model matematyczny to uproszczona reprezentacja, za pomocą równań matematycznych, funkcji lub formuł, zjawiska lub związku między dwiema lub większą liczbą zmiennych. Dziedziną matematyki odpowiedzialną za badanie właściwości i struktury modeli jest tak zwana „teoria modeli”.
Do czego służy model matematyczny?
Modele matematyczne służą do analizy relacji między dwiema lub większą liczbą zmiennych. Można je wykorzystać do zrozumienia zjawisk naturalnych, społecznych, fizycznych itp. W zależności od poszukiwanego celu i konstrukcji tego samego modelu, można je wykorzystać między innymi do przewidywania wartości zmiennych w przyszłości, stawiania hipotez, oceny efektów określonej polityki lub działania.
Choć wydaje się to koncepcją teoretyczną, w rzeczywistości istnieje wiele aspektów życia codziennego rządzonych modelami matematycznymi. Dzieje się tak, że nie są to modele matematyczne skoncentrowane na teoretyzowaniu. Są to raczej modele matematyczne sformułowane po to, by coś działało. Na przykład samochód.
Podstawowe elementy modelu matematycznego
Modele matematyczne mogą różnić się złożonością, ale wszystkie mają zestaw podstawowych cech:
- Zmienne: Są to pojęcia lub przedmioty, które staramy się zrozumieć lub przeanalizować. Zwłaszcza w odniesieniu do jego relacji z innymi zmiennymi. Tak więc np. zmienną może być wynagrodzenie pracowników, a to, co chcemy analizować, to ich główne determinanty (np. lata studiów, wykształcenie rodziców, miejsce urodzenia itp.).
- Parametry: Są to znane lub kontrolowane wartości modelu.
- Ograniczenia: Są to pewne granice, które wskazują, że wyniki analizy są rozsądne. Na przykład, jeśli jedną ze zmiennych jest liczba dzieci w rodzinie, naturalnym ograniczeniem jest to, że ta wartość nie może być ujemna.
- Relacje między zmiennymi: Model ustala pewien związek między zmiennymi w oparciu o teorie ekonomiczne, fizyczne, chemiczne itp.
- Uproszczone reprezentacje: Jedną z podstawowych cech modelu matematycznego jest reprezentacja relacji między badanymi zmiennymi za pomocą elementów matematyki, takich jak: funkcje, równania, formuły itp.
Pożądane właściwości modelu matematycznego
Projektując model matematyczny, zakłada się, że posiada on zestaw właściwości, które pomagają zapewnić jego niezawodność i skuteczność. Wśród tych właściwości są:
- Prostota: Jednym z głównych celów modelu matematycznego jest uproszczenie rzeczywistości w celu lepszego jej zrozumienia.
- Obiektywność: Że nie ma uprzedzeń ani teoretycznych, ani uprzedzeń czy pomysłów swoich projektantów.
- Wrażliwość: Że jest w stanie odzwierciedlić efekty niewielkich zmian.
- Stabilność: Model matematyczny nie zmienia się znacząco, gdy występują niewielkie zmiany w zmiennych.
- Uniwersalność: Że ma zastosowanie do kilku kontekstów, a nie tylko do konkretnego przypadku.
Oczywiście jest ich znacznie więcej, ale te powyższe są najbardziej intuicyjne.
Procesy tworzenia modelu matematycznego
Ogólnie rzecz biorąc, proces tworzenia modelu matematycznego wygląda następująco:
- Znajdź zjawisko lub problem.
- Sformułuj model z elementami matematyki reprezentującymi wybrany problem, identyfikując odpowiednie zmienne (zależne i niezależne).
- Ustal hipotezy i metodę testowania ich prawdziwości.
- Zastosuj wiedzę matematyczną do rozwiązania modelu i w razie potrzeby dokonaj prognoz.
- Dokonać porównań uzyskanych danych z danymi rzeczywistymi.
- Jeśli wyniki nie spełniają oczekiwań, dostosuj model matematyczny.
Rodzaje modeli matematycznych
Istnieją różne typy modeli matematycznych. Oto niektóre z najbardziej odpowiednich typów modeli:
Zgodnie z wykorzystanymi informacjami
- Heurystyczny: Na podstawie możliwych wyjaśnień przyczyn obserwowanych zjawisk.
- Empiryczny: Wykorzystuje informacje z rzeczywistych eksperymentów.
Według rodzaju reprezentacji
- Jakościowe lub koncepcyjne: Odnoszą się do analizy jakości lub trendu zjawiska bez obliczenia dokładnej wartości.
- Ilościowe lub liczbowe: Otrzymane wyniki mają określoną wartość, która ma określone znaczenie (może być dokładna lub względna).
Zgodnie z losowością!
- Deterministyczny: Nie ma niepewności, wartości są znane.
- Stochastyczny: Wartość zmiennych nie zawsze jest dokładnie znana. Istnieje niepewność, a zatem rozkład prawdopodobieństwa wyników.
Zgodnie z twoją aplikacją lub celem
- Symulacyjne lub opisowe: Symuluje lub opisuje zjawisko. Wyniki koncentrują się na przewidywaniu, co stanie się w określonej sytuacji.
- Optymalizacja: Służą do znalezienia optymalnego rozwiązania problemu.
- Kontroli: Aby utrzymać kontrolę nad organizacją lub systemem i określić zmienne, które należy dostosować, aby uzyskać pożądane wyniki.