Rozkład Cholesky'ego to specjalny rodzaj rozkładu macierzy LU, z angielskiego Lower-Upper, który polega na rozłożeniu macierzy na iloczyn dwóch lub więcej macierzy.
Innymi słowy, rozkład Choleskiego polega na przyrównaniu macierzy zawierającej taką samą liczbę wierszy i kolumn (macierz kwadratowa) do macierzy z zerami powyżej głównej przekątnej pomnożonej przez jej macierz transponowaną zerami poniżej głównej przekątnej.
Rozkład LU, w przeciwieństwie do Choleskiego, można zastosować do różnych typów macierzy kwadratowych.
Charakterystyka rozkładu Choleskiego
Rozkład Choleskiego składa się z:
- Górna trójkątna macierz kwadratowa: Macierz kwadratowa, która ma tylko zera poniżej głównej przekątnej.
- Dolna trójkątna macierz kwadratowa: Macierz, która ma tylko zera nad główną przekątną.
Matematycznie, jeśli istnieje dodatnio określona macierz symetryczna, I, to istnieje dolna trójkątna macierz symetryczna, K, o tym samym wymiarze co I, w wyniku czego:
Powyższa macierz pojawia się jako macierz Cholesky'ego E. Ta macierz działa jako pierwiastek kwadratowy z macierzy E. Wiemy, że domena pierwiastka kwadratowego to:
(X ∈ ℜ: x ≥ 0)
Który jest zdefiniowany we wszystkich nieujemnych liczbach rzeczywistych. Podobnie jak pierwiastek kwadratowy, macierz Choleskiego będzie istniała tylko wtedy, gdy macierz jest półdodatnia określona. Macierz jest półdodatnia zdefiniowana, gdy główne drugorzędne mają determinantę dodatnią lub zerową.
Rozkład Cholesky'ego I jest macierzą diagonalną taką, że:
Widzimy, że macierze są kwadratowe i zawierają wspomniane cechy; trójkąt zer powyżej głównej przekątnej w pierwszej macierzy i trójkąt zer poniżej głównej przekątnej w przekształconej macierzy.
Zastosowania rozkładu Choleskiego
W finansach służy do przekształcania realizacji niezależnych zmiennych normalnych na zmienne normalne skorelowane zgodnie z macierzą korelacji I.
Jeśli N jest wektorem niezależnych normalnych (0,1), to Ñ jest wektorem normalnych (0,1) skorelowanych według I.
Przykład rozkładu Choleskiego
Jest to najprostszy przykład rozkładu Choleskiego, jaki możemy znaleźć, ponieważ macierze muszą być kwadratowe, w tym przypadku macierz ma postać (2 × 2). Dwa rzędy na dwie kolumny. Ponadto spełnia cechy posiadania zer powyżej i poniżej głównej przekątnej. Ta macierz jest półpozytywna określona, ponieważ główne drugorzędne mają pozytywną determinantę. Definiujemy:
Rozwiązywanie dla: c2 = 4; b · c = -2; do2+ b2 = 5; mamy cztery możliwe macierze Choleskiego:
Na koniec obliczamy, aby znaleźć (a, b, c). Gdy je znajdziemy, będziemy mieli macierze Choleskiego. Obliczenia są następujące:
