Funkcja wykładnicza - Co to jest, definicja i pojęcie

Funkcja wykładnicza jest podstawą ciągłej kapitalizacji, która jest wynikiem nieskończonego wzrostu (gdy p dąży do nieskończoności) częstotliwości obliczania odsetek w składanej kapitalizacji.

Innymi słowy, funkcja wykładnicza jest składaniem złożonym, w którym okresy między obliczeniami odsetek są nieskończenie małe (bardzo małe).

Wzór na funkcję wykładniczą to:

Ciągłe składanie można wyrazić jako

Rozsądne podobieństwa między ciągłą kapitalizacją a funkcją wykładniczą, prawda?

Definiujemy zmienne ciągłej kapitalizacji:

• do_{t + 1}: kapitał w czasie t + 1 (później).
• do_t: kapitał w czasie t (bieżący).
• ja_t: stopa procentowa w czasie t.
• p: częstotliwość składowania lub okresowość.
• t: czas.

Aplikacje

W finansach często znajdujemy funkcję wykładniczą we wzorze na ciągłą kapitalizację przyszłych dochodów oraz w niektórych regresjach ekonometrycznych.

W ekonomii nie jest tak popularny, ponieważ większość modeli mikroekonomicznych i makroekonomicznych zakłada malejące krańcowe zwroty z ich czynników produkcji. W związku z tym zakładają, że czynniki podążają za zwrotami logarytmicznymi, a zatem zwrotami sprzecznymi z funkcją wykładniczą.

Przykład funkcji wykładniczej

Zakładamy, że jesteśmy amerykańskim inwestorem, który chce wybudować stok narciarski w Pico Bolívar w Wenezueli. Początkowa inwestycja to 100 mln USD przy rocznej stopie procentowej 100%. Inwestor ten ma wystarczającą siłę negocjacyjną, aby określić częstotliwość naliczania odsetek od jego inwestycji.

Jaką alternatywę będzie preferował amerykański inwestor?

Aby odpowiedzieć na pytanie, będziemy musieli na czas obliczyć kapitał t + 1 (DO_{t + 1}), które otrzyma inwestor.

Dostępne informacje:

do_t: 100 MM

ja_t: 100%

t: 1 (rocznie)

do_{t + 1}: ?

Zastępujemy informacje, które mamy w dwóch formułach (funkcja ex. I ciągła kapitalizacja)

Traktujemy dane unikając MM.

Dzielimy (C_{t + 1}) na 100 w funkcji wykładniczej w celu wyeliminowania wpływu kapitału. W ten sposób przesuwamy przecinek o dwa miejsca do przodu. W konsekwencji efekt ten widoczny jest w kolejnych kolumnach wyników.

Wyniki:

Gdy n lub p mają tendencję do nieskończoności, w tym przypadku od 10 000 000, widzimy, że wartości zbiegają się na określonej liczbie. Dla ciągłego składania jest to 271.8281 a dla funkcji wykładniczej jest to 2.718281. Dwie serie zbiegają się dalej i.

Odpowiedź na ćwiczenie rozwiązana

Jaką więc alternatywę ostatecznie wybierze amerykański inwestor, jeśli z szeregu okresów kapitał w t + 1 (C_{t + 1}) stoiska na określonej wartości?

• Jeśli ten inwestor traktuje kapitał jako zmienną dyskretną, to wybierze alternatywę D. Ponieważ z alternatywy C kapitał w t + 1 (C_{t + 1}) zbliża się do 271 mln USD.

• Jeżeli inwestor ten traktuje kapitał jako zmienną ciągłą, to wybierze alternatywę o większej częstotliwości. W tym przypadku alternatywa F. Nawet jeśli kończy się zbieżność na wartości, inwestor bierze pod uwagę wszystkie ułamki dziesiętne.

Ta zbieżność implikuje, że kapitał w t + 1 (C_{t + 1}), obliczone za pomocą formuły ciągłego składania lub funkcji wykładniczej, następuje po malejących zyskach krańcowych. Innymi słowy, (C_{t + 1}) można wyrazić jako funkcję logarytmiczną.

Schematycznie:

• Okresowość = funkcja wykładnicza.
• Kapitał do t + 1 (DO_{t + 1}) = funkcja logarytmiczna.

Reprezentacja graficzna

Na wykresie widać, jak funkcja wykładnicza, która jest nieskończenie ciągła, rośnie znacznie szybciej niż ograniczona ciągła kapitalizacja. Kiedy mówimy o kapitalizacji ciągłej, mamy na myśli rodzaj kapitalizacji złożonej, ale z większą okresowością, ponieważ w praktyce niemożliwa jest nieskończenie mała kapitalizacja odsetek. To znaczy, nie możemy wykorzystać każdej sekundy.