Funkcja wykładnicza jest podstawą ciągłej kapitalizacji, która jest wynikiem nieskończonego wzrostu (gdy p dąży do nieskończoności) częstotliwości obliczania odsetek w składanej kapitalizacji.
Innymi słowy, funkcja wykładnicza jest składaniem złożonym, w którym okresy między obliczeniami odsetek są nieskończenie małe (bardzo małe).
Wzór na funkcję wykładniczą to:
Ciągłe składanie można wyrazić jako
Rozsądne podobieństwa między ciągłą kapitalizacją a funkcją wykładniczą, prawda?
Definiujemy zmienne ciągłej kapitalizacji:
- dot + 1: kapitał w czasie t + 1 (później).
- dot: kapitał w czasie t (bieżący).
- jat: stopa procentowa w czasie t.
- p: częstotliwość składowania lub okresowość.
- t: czas.
Aplikacje
W finansach często znajdujemy funkcję wykładniczą we wzorze na ciągłą kapitalizację przyszłych dochodów oraz w niektórych regresjach ekonometrycznych.
W ekonomii nie jest tak popularny, ponieważ większość modeli mikroekonomicznych i makroekonomicznych zakłada malejące krańcowe zwroty z ich czynników produkcji. W związku z tym zakładają, że czynniki podążają za zwrotami logarytmicznymi, a zatem zwrotami sprzecznymi z funkcją wykładniczą.
Przykład funkcji wykładniczej
Zakładamy, że jesteśmy amerykańskim inwestorem, który chce wybudować stok narciarski w Pico Bolívar w Wenezueli. Początkowa inwestycja to 100 mln USD przy rocznej stopie procentowej 100%. Inwestor ten ma wystarczającą siłę negocjacyjną, aby określić częstotliwość naliczania odsetek od jego inwestycji.
Jaką alternatywę będzie preferował amerykański inwestor?
Aby odpowiedzieć na pytanie, będziemy musieli na czas obliczyć kapitał t + 1 (DOt + 1), które otrzyma inwestor.
Dostępne informacje:
dot: 100 MM
jat: 100%
t: 1 (rocznie)
dot + 1: ?
| Alternatywny | DO | b | do | re | I | fa |
| Okresowość | 1 | 2 | 50 | 100.000 | 10.000.000 | 1.000.000.000 |
Zastępujemy informacje, które mamy w dwóch formułach (funkcja ex. I ciągła kapitalizacja)
Traktujemy dane unikając MM.
Dzielimy (Ct + 1) na 100 w funkcji wykładniczej w celu wyeliminowania wpływu kapitału. W ten sposób przesuwamy przecinek o dwa miejsca do przodu. W konsekwencji efekt ten widoczny jest w kolejnych kolumnach wyników.
Wyniki:
| Formuła | Ciągłe mieszanie | Funkcja wykładnicza |
| Okresowość (p) lub (n) | dot + 1 | dot + 1/100 |
| 1 | 200 | 2 |
| 2 | 225 | 2,25 |
| 50 | 269,1588029 | 2,691588029 |
| 100.000 | 271,8268237 | 2,718268237 |
| 10.000.000 | 271,8281694 | 2,718281694 |
| 1.000.000.000 | 271,8282031 | 2,718282031 |
Gdy n lub p mają tendencję do nieskończoności, w tym przypadku od 10 000 000, widzimy, że wartości zbiegają się na określonej liczbie. Dla ciągłego składania jest to 271.8281 a dla funkcji wykładniczej jest to 2.718281. Dwie serie zbiegają się dalej i.
Odpowiedź na ćwiczenie rozwiązana
Jaką więc alternatywę ostatecznie wybierze amerykański inwestor, jeśli z szeregu okresów kapitał w t + 1 (Ct + 1) stoiska na określonej wartości?
- Jeśli ten inwestor traktuje kapitał jako zmienną dyskretną, to wybierze alternatywę D. Ponieważ z alternatywy C kapitał w t + 1 (Ct + 1) zbliża się do 271 mln USD.
- Jeżeli inwestor ten traktuje kapitał jako zmienną ciągłą, to wybierze alternatywę o większej częstotliwości. W tym przypadku alternatywa F. Nawet jeśli kończy się zbieżność na wartości, inwestor bierze pod uwagę wszystkie ułamki dziesiętne.
Ta zbieżność implikuje, że kapitał w t + 1 (Ct + 1), obliczone za pomocą formuły ciągłego składania lub funkcji wykładniczej, następuje po malejących zyskach krańcowych. Innymi słowy, (Ct + 1) można wyrazić jako funkcję logarytmiczną.
Schematycznie:
- Okresowość = funkcja wykładnicza.
- Kapitał do t + 1 (DOt + 1) = funkcja logarytmiczna.
Reprezentacja graficzna
Na wykresie widać, jak funkcja wykładnicza, która jest nieskończenie ciągła, rośnie znacznie szybciej niż ograniczona ciągła kapitalizacja. Kiedy mówimy o kapitalizacji ciągłej, mamy na myśli rodzaj kapitalizacji złożonej, ale z większą okresowością, ponieważ w praktyce niemożliwa jest nieskończenie mała kapitalizacja odsetek. To znaczy, nie możemy wykorzystać każdej sekundy.