Test White'a na heteroskedastyczność polega na zwróceniu kwadratów reszt zwykłych najmniejszych kwadratów (OLS) na dopasowanych wartościach OLS i na kwadratach dopasowanych wartości.
Uogólniając, reszty kwadratowe MNK są zwracane dla zmiennych objaśniających. Głównym celem White'a jest testowanie form heteroskedastyczności, które unieważniają standardowe błędy OLS i odpowiadające im statystyki.
Innymi słowy, test White'a pozwala sprawdzić obecność heteroskedastyczności (błąd u, uzależniony od zmiennych objaśniających, jest różny w populacji). Test ten ujednolica w jednym równaniu kwadraty i iloczyny krzyżowe wszystkich zmiennych niezależnych regresji. Biorąc pod uwagę założenia Gaussa-Markowa, skupiamy się na założeniu homoskedastyczności jako:
Var (u | x1,…, Xk) = σ2
Przykładem heteroskedastyczności może być to, że w równaniu zmiany klimatu wariancja nieobserwowanych czynników wpływających na zmianę klimatu (czynniki mieszczące się w granicach błędu i E (u | x1,…, Xk) ≠2 ) wzrasta wraz z emisją CO2 (Var (u | x1,…, Xk) ≠2 ). Stosując test White'a sprawdzilibyśmy, czy Var (u | x1,…, Xk) ≠2 (heteroskedastyczność) lub Var (u | x1,…, Xk) = σ2 (homoskedastyczność). W tym przypadku odrzucilibyśmy Var (u | x1,…, Xk) = σ2 ponieważ wariancja błędu wzrasta wraz z emisją CO2 i dlatego σ2 nie jest stały dla całej populacji.
Proces
1. Zaczynamy od populacyjnej regresji liniowej wielokrotnej z k = 2. Definiujemy (k) jako liczbę regresorów.
Zakładamy zgodność Gaussa-Markowa, aby oszacowanie OLS było obiektywne i spójne. W szczególności skupiamy się na:
- E (u | x1,…, Xk) = 0
- Var (u | x1,…, Xk) = σ2
2. Hipoteza zerowa opiera się na spełnieniu homoskedastyczności.
H0: Var (u | x1,…, Xk) = σ2
Aby skontrastować H0 (homoskedastyczność) jest testowana, jeśli u2 jest powiązany z jedną lub kilkoma zmiennymi objaśniającymi. Równoważnie H0 można wyrazić jako:
H0 : E (u2 | x1,…, Xk) = E (u2 ) = σ2
3. Dokonujemy estymacji MNK na Modelu 1, gdzie estymacja û2 jest kwadratem błędu Modelu 1. Konstruujemy równanie û2 :
- Zmienne niezależne (xja).
- Kwadraty zmiennych niezależnych (xja2).
- Produkty krzyżowe (xja xh i ≠ h).
- Zastępujemy B0 oraz bk przez0 i δk odpowiednio.
- Zastępujemy u za v
W wyniku:
lub2 =0 +1x1 +2x2 +3x12 +4x22 +5x1 x2 + v
Ten błąd (v) ma zerową średnią ze zmiennymi niezależnymi (xja ) .
4. Proponujemy hipotezy z poprzedniego równania:
5. Używamy statystyki F do obliczenia łącznego poziomu istotności (x1,…, Xk).
Przypominamy jako (k) liczbę regresorów w û2 .
6. Zasada odrzucenia:
- Wartość P <Fk, n-k-1 : odrzucamy H0 = odrzucamy obecność homoskedastyczności.
- Wartość P> Fk, n-k-1 : nie mamy wystarczających dowodów, aby odrzucić H0 = nie odrzucamy obecności homoskedastyczności.