Trapez równoramienny to taki, w którym jego dwa nierównoległe boki, które łączą dwie podstawy figury, mają tę samą długość.
Należy pamiętać, że trapez jest czworobokiem (wielokątem czworobocznym) charakteryzującym się dwoma bokami zwanymi podstawami. Są równoległe (nie krzyżują się, nawet jeśli są przedłużone) i mają różną długość. Również jego pozostałe dwie strony nie są równoległe.
Trapez równoramienny jest jednym z trzech typów trapezu, obok trapezu prawego i trapezu łuskowego.
Charakterystyka trapezu równoramiennego
Wśród cech trapezu równoramiennego wyróżniają się:
- Na poniższym rysunku, jeśli trapez jest równoramienny, boki AB i CD mają tę samą długość.
- Dwa kąty wewnętrzne, znajdujące się na tej samej podstawie, mierzą to samo. Jeśli kierujemy się poniższym obrazem, prawdziwe byłoby: α = β i δ = γ.
- Przekątne na rysunku AC i DB mają tę samą długość.
- Uzupełnieniem są kąty wewnętrzne, które są przeciwstawne. Oznacza to, że tworzą kąt prosty. Na dolnym obrazie można zaobserwować: α + γ = α + δ = β + δ = β + γ = 180º.
- Dwa jego kąty wewnętrzne są ostre (mniej niż 90º), podczas gdy pozostałe dwa są rozwarte (większe niż 90º). Tak więc na poniższym rysunku α i β są rozwarte, a δ i γ są ostre.
- Cztery kąty wewnętrzne sumują się do 360º.
- Trapez równoramienny jest jedynym rodzajem trapezu, który można wpisać po obwodzie. Oznacza to, że jego cztery wierzchołki mogą przechodzić przez obwód koła (patrz rysunek poniżej).
- Ma oś symetrii, która byłaby linią EF na poniższym obrazku. Jest to prostopadłe do podstaw (tworzy kąt prosty lub 90º) i przecina je w ich punkcie środkowym. W ten sposób podczas rysowania wspomnianej osi wielokąt dzieli się na dwie symetryczne części. Oznacza to, że każdy punkt po jednej stronie odpowiada punktowi po drugiej stronie, oba są w równej odległości od osi symetrii. Na przykład odległość między punktem B a punktem F jest taką samą odległością, jaka istnieje między punktem F a punktem C.
Obwód i powierzchnia trapezu równoramiennego
Aby lepiej zrozumieć charakterystykę trapezu równoramiennego, możemy obliczyć następujące pomiary:
- Obwód: Dodajemy długość każdego boku figury: P = AB + BC + CD + AD.
- Powierzchnia: Jak w każdym trapezie, aby znaleźć jego powierzchnię, dodaje się podstawy, dzielone przez dwa i mnożone przez wysokość. Jak wskazano w poniższym wzorze:
Teraz, aby obliczyć wysokość, możemy narysować dwie wysokości z wierzchołków A i D, jak widać na poniższym rysunku:
Mamy więc trójkąt ADFG; gdzie AD równa się FG, a trójkąty utworzone po bokach są przystające. Dlatego BF jest tym samym co GC. Założymy, że oba środki do.
Dlatego byłoby prawdą, że:
Zauważmy teraz, że trójkąty uformowane na boki są trójkątami prostokątnymi, więc można zastosować twierdzenie Pitagorasa. Na przykład w trójkącie ABF AB jest przeciwprostokątną, podczas gdy AF (wzrost nazwiemy h) i BF to nogi.
Musimy też pamiętać, że AB to to samo co DC. Zatem jeśli zastąpimy powyższe we wzorze na pole, otrzymamy pole w funkcji boków trapezu:
Innym sposobem obliczenia powierzchni trapezu jest pomnożenie przekątnych, podzielenie przez dwa i pomnożenie przez sinus kąta, który tworzą przy przecięciu, pamiętając, że obie przekątne są równe:
Warto zauważyć, że na przecięciu przekątnych przeciwległe kąty są sobie równe, a ich sąsiadem jest ich kąt uzupełniający.
Wiedząc zatem, że sinus kąta jest równy sinusowi jego kąta dopełniającego, można wybrać dowolny z kątów na przecięciu przekątnych.
Podsumowując, na poniższym obrazku jest prawdą, że: α = γ, β = δ i α + β = γ + δ = α + δ = β + γ = 180º
Aby znaleźć przekątną, możemy skorzystać z następującego wzoru:
Dlatego obszar byłby:
Przykład trapezu równoramiennego
Wyobraźmy sobie, że mamy trapez o podstawie 4 i 8 metrów, podczas gdy boki nierównoległe mierzą 3,6 metra każdy, przy czym oba są równe (więc trapez jest równoramienny), jak długi jest obwód (P), powierzchnia ( A) i przekątną (D) figury?
