Spójny estymator to taki, którego błąd pomiaru lub błąd systematyczny zbliża się do zera, gdy wielkość próbki zbliża się do nieskończoności.
Z definicji bezstronnego estymatora możemy wyciągnąć wniosek, że czasami mamy błędy estymacji. Obecnie zdarzają się przypadki, w których wraz ze wzrostem próbki błąd maleje.
Czasami, ze względu na charakterystykę zastosowanego estymatora, wraz ze wzrostem wielkości próby wzrasta również błąd. Użycie tego estymatora nie byłoby pożądane. Teraz, a priori, nie wiemy, do czego zmierza nastawienie. Jeśli dąży do zera, dąży do pewnej wartości lub dąży do nieskończoności w miarę zwiększania się wielkości próbki.
To powiedziawszy, konieczne jest zdefiniowanie pojęcia spójności. Dla nich musimy powiedzieć, że istnieją dwa rodzaje spójności. Po pierwsze, istnieje prosta konsystencja. Natomiast z drugiej strony konsystencja znajduje się w średnim kwadracie.
Mówiąc w pewnym sensie, są to dwa narzędzia matematyczne, które pozwalają nam obliczyć, do której liczby lub liczb zbieżny jest nasz estymator.
Punktowe oszacowanieProsta konsystencja
Estymator spełnia własność niesprzeczności prostej, jeżeli spełnione jest następujące równanie:
Równanie odczytuje się od lewej do prawej: Granica, przy której wielkość próby dąży do nieskończoności, prawdopodobieństwa, że bezwzględna różnica między wartością estymatora a wartością parametru jest większa od błędu, wynosi zero .
Rozumie się, że wartość błędu odnotowanego przez epsilon musi być większa od zera.
Intuicyjnie formuła wskazuje, że gdy wielkość próbki staje się bardzo duża, prawdopodobieństwo błędu większego niż zero wynosi zero. Odwrotnie, prawdopodobieństwo, że nie ma błędu, gdy wielkość próby jest bardzo duża, wynosi, mówiąc prawdopodobieństwami, praktycznie 100%.
Estymator składający się ze średniej kwadratowej
Innym narzędziem, którego można użyć do sprawdzenia, czy estymator jest spójny, jest pierwiastek błędu średniokwadratowego. To matematyczne narzędzie jest jeszcze potężniejsze niż poprzednie. Powodem jest to, że wymóg tego warunku jest większy.
W poprzedniej części wymagano, aby, mówiąc probabilistycznie, możliwość popełnienia błędu była zerowa lub bardzo bliska zeru.
Teraz to, czego domagamy się, jest określone przez następującą matematyczną równość:
Oznacza to, że gdy wielkość próbki jest duża, matematyczne oczekiwanie kwadratu błędów wynosi zero. Jedyną opcją, aby ta wartość była zerowa, jest to, że błąd zawsze wynosi zero. Dlaczego? Ponieważ błąd estymacji jest podniesiony do dwóch (Estimator - True value parametru), wynik zawsze będzie dodatni. Chyba że błąd wynosi zero. Zero podniesione do dwóch to zero.
Oczywiście, jeśli limit zwraca 0,0001, możemy założyć, że jest równy zero. Jest prawie niemożliwe, aby mapa błędu średniokwadratowego zeszła do zera.
Statystycznie rzecz biorąc, powiemy, że estymator jest zgodny w średniej kwadratowej w przypadku, gdy oczekiwanie kwadratowego błędu estymatora uwzględniającego różne próbki jest zerowe lub bardzo mu bliskie.