Teoria mnogości to dział matematyki (i logiki), który zajmuje się badaniem cech zbiorów i operacji, które można między nimi wykonać.
Oznacza to, że teoria mnogości jest obszarem badań skoncentrowanym na zbiorach. Dlatego odpowiada za analizę zarówno posiadanych przez nich atrybutów, jak i relacji, które można między nimi nawiązać. To znaczy jego połączenie, przecięcie, uzupełnienie lub inne.
Musimy pamiętać, że zbiór to grupa elementów, czy są to liczby, litery, słowa, funkcje, symbole, figury geometryczne czy inne.
Aby określić zbiór, zwykle określa się cechę wspólną jego elementów. Na przykład zbiór A z liczbami całkowitymi, dodatnimi i parzystymi mniejszymi niż 20.
A = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18)
Historia teorii mnogości
Historia teorii mnogości sięga do prac Georga Cantora, niemieckiego matematyka rosyjskiego pochodzenia, uważanego za ojca tej dyscypliny.
Wśród tematów, które studiował Cantor, wyróżnia się na przykład, że zbiory nieskończone i zbiory liczbowe.
Pierwsza praca Cantora na temat teorii mnogości pochodzi z 1874 roku. Ponadto warto wspomnieć, że często wymieniał poglądy z matematykiem Richardem Dedekindem, który przyczynił się do badania liczb naturalnych.
Zbiory numeryczne
Zestawy liczbowe to różne grupy, w których liczby są klasyfikowane zgodnie z ich różnymi cechami. Jest to abstrakcyjna konstrukcja, która ma ważne zastosowanie w matematyce.
Zbiory liczbowe są złożone, urojone, rzeczywiste, irracjonalne, wymierne, całkowite i naturalne i można je zilustrować na poniższym diagramie Venna:
Liczby zespoloneLiczby urojoneLiczby rzeczywisteLiczby niewymierneLiczby wymierneLiczby całkowiteLiczby naturalne
Ustaw algebrę
Algebra zbiorów obejmuje relacje, jakie można między nimi ustanowić.
W ten sposób wyróżniają się następujące operacje:
- Połączenie zestawów: Połączenie dwóch lub więcej zestawów zawiera każdy element zawarty w co najmniej jednym z nich.
- Przecięcie zbiorów: Przecięcie dwóch lub więcej zestawów obejmuje wszystkie elementy, które te zestawy mają wspólne lub wspólne.
- Ustaw różnicę: Różnica jednego zestawu względem drugiego jest równa elementom pierwszego zestawu minus elementy drugiego.
- Zestawy uzupełniające: Uzupełnienie zestawu zawiera wszystkie elementy, które nie są zawarte w tym zestawie (ale należą do innego zestawu odniesienia).
- Różnica symetryczna: Symetryczna różnica dwóch zestawów obejmuje wszystkie elementy, które znajdują się w jednym lub drugim, ale nie w obu jednocześnie.
- Produkt kartezjański: Jest to operacja, która skutkuje nowym zestawem. Zawiera jako elementy uporządkowane pary lub krotki (uporządkowane serie) elementów należących do dwóch lub więcej zbiorów. Są to pary uporządkowane, jeśli są dwoma zestawami, a krotki, jeśli są więcej niż dwoma zestawami.