Równania funkcjonalne to te, które mają inną funkcję jako nieznaną. Funkcja, którą można powiązać z operacją algebraiczną, taką jak dodawanie, odejmowanie, dzielenie, mnożenie, potęgowanie lub pierwiastek.
Równania funkcyjne można również zdefiniować jako te, które nie dają się łatwo sprowadzić do funkcji algebraicznej typu f (x) = 0, dla ich rozwiązania.
Równania funkcjonalne są charakteryzowane, ponieważ nie ma jednego sposobu ich rozwiązania. Dodatkowo omawiana zmienna może przyjmować różne wartości (zobaczymy to na przykładach).
Przykłady równań funkcyjnych
Oto kilka przykładów równań funkcyjnych:
f(xy) = f(x).f(y)
f (x2+ i2) = f (xy)2/2
f (x) = f (x + 3) / x
W przypadkach takich jak poprzednie można dodać np., że x należy do zbioru liczb rzeczywistych, czyli x R (zero można wykluczyć).
Przykłady równań funkcyjnych
Zobaczmy kilka przykładów rozwiązanych równań funkcyjnych:
f (1 / 2x) = x-3f (x)
Więc jeśli zastąpię x przez 1/2x:
f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))
f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)
8f (x) = 3x- (1 / 2x)
f (x) = (3/8) x- (1/16x)
Zobaczmy teraz inny przykład z nieco większym trudem, ale w którym będziemy postępować w podobny sposób:
x2f (x) -f (5-x) = 3x… (1)
W tym przypadku najpierw rozwiązujemy f (5-x)
f (5-x) = x2f (x) -3x… (2)
Teraz zamieniam x na 5-x w równaniu 1:
(5-x)2f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)
(25-10x + x2) .f (5-x) -f (x) = 15-3x
Pamiętamy, że f (5-x) jest w równaniu 2:
(25-10x + x2(x2f (x) -3x) -f (x) = 15-3x
25x2-75x-10x3f(x) + 30x2+ X4f(x) -3x3-f (x) = 15-3x
f (x) (x4-10x3-1) = 3x3-55x2+ 72x
f(x) = (3x3-55x2+ 72x) / (x4-10x3-1)
równanie funkcyjne Cauchy'ego
Funkcja funkcjonalna Cauchy'ego jest jedną z najbardziej podstawowych w swoim rodzaju. To równanie ma następującą postać:
f (x + y) = f (x) + f (y)
Zakładając, że x i y znajdują się w zbiorze liczb wymiernych, rozwiązanie tego równania mówi nam, że f (x) = cx, gdzie c jest dowolną stałą i to samo dzieje się z f (y).